PhDr. Mgr. Jeroným Klimeš, Ph.D. 2020-12-04
Jedné mé známé přišlo neuvěřitelné, že země je kulatá, a napsala mi toto:
"V ČT říkali, že když si zajedete k rybníku Rožmberk, tak si tam můžete ověřit, že je Země kulatá, a to tak, že nevidíte na konec, ani odplouvající loď tam neuvidíte až nakonec, protože se ztratí za zakřivením Země. Vetší hovadinu jsem neslyšela. To by znamenalo, že když ten rybník zamrzne, tak je led do oblouku. 😀 Muzete si tak akorát ověřit, že tu loď dobrým dalekohledem ještě uvidíte, dokud se vam neztratí za mlžným oparem či za vlnami.
Musel jsem paní ubezpečit, že nejen vodní hladina, ale i ten led na ní je opravdu do oblouku. Každopádně mě tato konverzace vyhecovala k tomu, abych si vzal tužku, papír, počítač a spočítal, kolik z té lodi se na Rožmberském rybníku ztratí za obzorem díky ohnutí hladiny. Stejně by bylo zajímavé udělat nějaký průzkum mezi lidmi, kolik procent z nich by bylo třeba schopno uvést nějaký důkaz, že je Země kulatá, nebo že se točí. Následující výpočet je otázkou matematiky základní školy, takže by ho měl dát dohromady každý, kdo umí přečíst tyto řádky (trivium). Nicméně výsledek není až tak primitivní, protože se počítá s vysokými čísly a na velkou přesnost. Takže ano, základ výpočtu je jednoduchá trigonometrie, ale ostatními nároky přesahuje běžnou výuku. Vhodný je pro konec základní školy, popř. pro začátek středních škol.
Přečtěte si, co o tom v roce 1898 napsal prof. Nušl. v časopisu Živa.
Rožmberkský rybník je v nejširším místě 3,4 km dlouhý. Protože se jedná o vodní hladinu, měla by mít tvar kulového vrchlíku, který opisuje ideální kulový povrch Zeměkoule. Říká se, že už na tomto Rybníku je patrné zakřivení Země pouhým zrakem.
Osnova a úkoly
A) Zkuste si spočítat vzdutí hladiny – o kolik je výše hladina uprostřed oproti přímé spojnici krajních břehů, tj. oproti sečně.
B) Když k vodní hladině přiložím laser ve směru tečny k vodní hladině, jak velké zvíře na druhém břehu bude zakryto vzdutím: blecha, myš, kočka, vetší pes, koza, člověk či slon?
C) Jak široký musí být rybník, aby na něm bylo patrné vzdutí, alespoň 5 cm, resp. 10 cm.
D) Jaké z toho plyne poučení?
E) Mysleli si ve vrcholném středověku, že Země je placka a táhnou ji sloni?
F) Použité programy
l - šířka rybníka = 3,4 km = 3 400 m
Nadmořská výška hladiny 426 m n. m.
Poloměr Zeměkoule = 6 371 km = 6 371 000 m
o – obvod Zeměkoule = 2π.r = 40 032 850 m, kde r je 6 371 426 m
Průměrná roční teplota ve střední části území (Třeboň) je 8 °C, průměrná teplota ledna -2,8 °C a průměrná teplota července 18 °C. Průměrné roční srážky dosahují 650 mm.
Teplotní součinitel objemové roztažnosti vody: 190e-6 1/K.
Základem je přesný nákres, abyste si uvědomili všechny souvislosti a vybrali si potřebné informace.
Pokud Vám tato informace k výpočtu nestačí, přejděte k druhé nápovědě.
Modrá a hnědá čára – hladina rybníka a povrch okolních břehů
Zelená čára – paprsek laseru, tečna k hladině.
Potřebujeme znát vzdutí v a zákryt z.
Tedy vše můžete spočítat jen pomocí goniometrických funkcí či Pythagorovy věty. Tedy stačí znalosti základní školy.
Potřebujeme spočítat úhel alfa α, který svírají okraje rybníka s barycentrem země. (Zde předpokládáme, že barycentrum je v geometrickém středu Zeměkoule.) Víme, že platí úměra: α ku celému kruhu se má jako délka rybníka ku obvodu Zeměkoule.
α= 0,000 534 Ra = 0,030 577°
Vzdálenost a=r.cos(α/ 2)=6 371 425,77320619 m
Vzdutí v = r-a = 0,226 m = 22,6 cm (ODPOVĚĎ A)
Pomocí Pythagorovy věty spočítáme vzdálenost a.
d=r.tan(α)= 3 400,000363 m
Z Pythagorovy věty získáme c.
c= 6 371 426,907175 m
Zákryt z=c-r= 0,907 m = 90,7 cm (ODPOVĚĎ B)
Existuje jednodušší, ale mírně nepřesný výpočet úhlu α, pokud délku rybníka l nepovažujeme za délku oblouku (přesné), ale za délku sečny (přibližné, nepřesné). Vzhledem k nepřesnosti vstupních dat je tato nepřesnost bezpředmětná, ale přesto si ukážeme i tento druhý, nepřesný výpočet přes goniometrické funkce:
Rozdíl těchto dvou výpočtů činní: 6,33.10-12, tedy při nepřesnosti vstupních dat naprosto bezvýznamný rozdíl.
Předpokládám, že velikost zákrytu z by šla spočítat i přes podobnosti trojúhelníkůa pomocí Pythagorovy věty (bez goniometrických funkcí), ale to zkuste sami.
A) Vzdutí hladiny rybníka
Wikipedia (https://cs.wikipedia.org/wiki/Rožmberk) vychází z jiné hodnoty:
Na rybníku je možné pozorovat zakřivení zeměkoule. Při pohledu napříč přes rybník (asi 2,5 km) je to na svislici 37,6 cm. Vše, co je menší než necelých 40 cm, zmizí na druhé straně rybníka za obzorem.
Bohužel ani při hodnotách 2,5 km není jasné, jak dospěli k uvedené hodnotě.
Vzdutí v = r-a = 0,226 m = 22,6 cm (ODPOVĚĎ A pro 3,4 km – přibližně délka rybníka)
Vzdutí v = r-a = 0,122 m = 12,2 cm (ODPOVĚĎ A pro 2,5 km – přibližně šířka rybníka)
B) Jak velké zvíře bude zakryto?
Zákryt z=91 cm (3,4 km) odpovídá velikostí koze. Problém je, že musíme mít střed dalekohledu na hladině, což je pro člověka špatně realizovatelné, ale třeba ne pro mravence, který stojí na kraji rybníka a hledí do dáli na druhý břeh. Z protějšího rákosí mu chybí spodních 91 cm.
Uvažujeme-li šíři rybníka 2,5km, pak z=0,490m, tzn. 49 cm.
C) Vzdutí 5, popř. 10 cm
Vzdutí rybníka větší než 5 cm pozorujeme u rybníků širších 1 600m.
Vzdutí rybníka větší než 10 cm pozorujeme u rybníků širších 2 260m.
Například rybník Mnich u Netolic je široký pouze 500 m, tedy vzdutí by bylo jen 5 mm, tzn. běžnými prostředky neměřitelné. Slavný Tálinský rybník už má 1,3km, takže tam je to tak na hraně (3 cm).
Od vzdutí 5 cm totiž stačí si vlézt s dalekohledem do vody a mít ho těsně nad nezčeřenou vodní hladinou, pokud je rybník širší než 1600 metrů, pak už nevidíme pěticentimetrový červený polystyrén, který plave na hladině na protějším břehu.
Podobně by to šlo asi silným laserem, běžně ukazovátko 2km nedosvítí.
D) Jaké z toho plyne poučení?
Je málo známým faktem, že nedaleko od rybníka bydleli Herr a Frau Gartenzwergovic. Kromě toho, že byli malého vzrůstu (jako dospělci měli přesně 22 cm), tak měli oči navrch hlavy. Manžel Herr jezdil pracovat za velikou louži a byli se manželkou Frau domluveni, že v pravé poledne si stoupnou na špičky a budou si hledět přes rybník z očí do očí. Zprvu to fungovalo. Vzdutí hladiny na rybníku bylo 22,6cm, takže stojíce na špičkách si mohli hezky hledět z očí do očí, co měli navrch svých hlav. Jenže manželka Frau si přestala stoupat na špičky. Od té doby ji Herr do očí neviděl, a tak žárlivec jeden pojal podezřejní se mu Frau na druhém břehu dohola spustila. Jeho oči začnou plakat pláčem, žárlivost mu vtiskne v ruku zbraň.. Vystřelil na ni z universálního kulometu vzor 59, co tam ležel pohozen u břehu. Asi takto ... [ta ta ta].
Co myslíte, může ji strefit, když ji nevidí v mířidlech? Je vůbec kulka z pušky schopna zabít trpaslíka, neřku-li člověka, na takovou nelíčenou vzdálenost?
Odpověď zní ano. Universální kulomet vzor 59 má dostřel 4 km a kulka má smrtící účinky po celé délce dostřelu. I když Herr svou Frau nevidí v mířidlech, přesto ji může strefit, protože osa mířidel je níže než osa hlavně. Kulomet také střílí do oblouku, takže kulka letí nad hladinou podél balistické křivky a zasahuje v komoře nic netušící proradnou Frau in flagranti přímo na komoru. Mors subita! Zhrzený Herr Gartenzwerg se pak odstěhoval za větší louži. Proto dnes u Rožmberského rybníka už žádné trpaslíky s očima navrch hlavy nepotkáte. Škoda. Z toho plyne poučení - nepohazujte kulomety a jiné své odpadky na břehu Rožmberkského rybníka!
E) Mysleli si ve středověku, že Země je placka a táhnou ji sloni?
Na středověké přírodovědné uvažování nejsem odborník, ale svého času mě zaujala jedna poznámka v Summě teologické. To je vrcholné dílo středověké teologie z pera sv. Tomáše Akvinského. Toho můžeme bez obav považovat za jeden z pilířů katolické filosofie a teologie. A u toho jsem náhodou našel tento komentář, ve kterém tvrdí, že o jedné věci mohou pojednávat různé vědy, a tak mimochodem tam zmiňuje i kulatost Země jako bezproblémovou samozřejmost:
I ot. 1 čl. 1 k 2 - Ke druhému se musí říci, že různý ráz předmětu poznání působí různost věd. Neboť tutéž větu dokazuje hvězdář a přírodozpytec, na příklad, že země je kulatá. Avšak hvězdář prostředky matematickými čili ze hmoty vyvozenými, kdežto přírodozpytec pomocí toho, co vidí na hmotě. Nic tedy nepřekáží, aby o těchže věcech, o nichž pojednávají filozofické předměty, protože jsou poznatelné světlem přirozeného rozumu, pojednávala ještě jiná věda, pokud se poznávají světlem Božího zjevení. Tedy teologie, jež náleží ku posvátné nauce, se druhově liší od oné teologie, která je částí filozofie.
Jinými slovy, kulatost Země nebyla pro sv. Tomáše Akvinského problém. Problém byl spíš helio- versus geocentrický systém, tedy zda se Země točí a zda obíhá kolem Slunce. Ale toto dilema mohl rozřešit až vynález dalekohledu, protože geocentrický systém ještě za Koperníka dával přesnější předpovědi zatmění Slunce a jiných nebeských úkazů než heliocentrický, který díky tomu nebyl moc přesvědčivý. Prostě čekalo se na Kepplerovy zákony.
Každopádně ještě dnes najdeme lidi, kteří popírají kulatost Země a zastávají všelijaké jiné anachronismy, viz email citovaný nahoře. Navíc k přirodovědným úvahám se vždy nalepovaly filosofické myšlenky, které dnes vcelku nikoho nevzrušují, ale tehdy byly velmi konfliktní, například panteismus či popírání transubstanciace Giordana Bruna, osobní animozity nevyjímaje. Každopádně představy, že Země je placka a táhnou ji sloni, byla i ve středověku považována za nesmysl.
F) Použité programy
Libreoffice – writer (text), calc (vypočty), math (vzorce)
LibreCAD – výkres
imagemagick – convert -trim rybnik.pdf rybnik.png
GIMP – úprava obrázků
scrot – otisk obrazovky
kwrite – html
www.mapy.cz
Ke stažení
Soubor Calc s výpočty