Pánové a klobouky aneb Cvičení ve výrokové logice

PhDr. Mgr. Jeroným Klimeš, Ph.D. 2025-09-13

Anotace

Výroková logika má své algoritmy podobně jako aritmetika má násobení a dělení. Mezi jeden z nich patří Jaurisův zjednodušený důkaz, který je založen na tom, že hledáme jen ty řádky, které by mohly ohrozit pravdivost úsudku. Těmi jsou ty případy, kde premisy jsou pravdivé a závěr nepravdivý. Když tyto řádky vedou ke sporu, tzn. když víme, že takové případy nemohou nastat, pak víme, že naše formule je pravidlem správného usuzování (PSU). Toto jednoduché tvrzení si musejí studenti mnohonásobně procvičit, nadrilovat. Dril jim pak dá vnitřní jistotu, že se mohou spolehnout na to, co si odvodili.

Následující povídání je vlastně hádanka, která je řešená způsobem, jak by asi měla být vzorově řešena úloha v rámci výrokové logiky, aby měla charakter přezkoumatelnosti, ne jen intuitivního vhledu. To je požadavek všech průmyslových řešení, kde jde v lepším případě o peníze, v horším o život.

Vztah mezi výrokovou logikou coby vědou a intuitivními úvahami je asi jako mezi profesionální kráječkou na salám, co mají v řeznictví, a nožem. Ano, pokud chceme tři kolečka salámu na rohlík, vystačíme s nožem. Nemá cenu si kupovat stroj, který nám zabere polovinu kuchyňské linky. Naopak v řeznictví by krájeli štangli salámu na kolečka týden, takže ti mají profesionální kráječku, ač je velká a drahá. Stejně tak po výrokové logické sáhneme, když zpracováváme komplexní automatizační systémy řídící továrnu, vyrábíme ovládání fotovoltaické elektrárny atd. Je to taková profesionální kráječka výroků. Proto si teď uděláme výlet do této továrny na výroky, uvidíte soustruhy, frézy, ohýbačky a všechna možná udělátka, pomocí kterých se kují výroky ve velkém. Na Malorce jste možná byli, ale tipuji si, že v takové továrně na výroky jeste ještě nebyli.

V mém oblíbeném časopise Hamík vyšel minitestík, který mi dal zabrat, ač již dávno nejsem dítě školou povinné (pro které je určen):

Náš Minitestík na námět Bohumila Dobrovolného: Tři muži A, B, C byli zkoušeni na bystrost úsudku. Zavázali jim oči, nasadili každému klobouk a řekli, že klobouk může být červený nebo černý. Potom jim oči rozvázali a požádali je, aby zvedl ruku každý, kdo vidí aspoň jeden červený klobouk (svůj vlastní nevidí) a aby odešel stranou ten, kdo ví jistě, jaká je barva jeho klobouku.

Stalo se. Protože byly všechny klobouky červené, zvedli všichni tři muži ruce. Za několik minut však nejbystřejší z nich C poznal, jaká je barva jeho klobouku, odešel stranou a vyhrál.

Jak k tomu došel? https://hamik.cz/data/hk_dily/hamikuvkoutek421.pdf

To je úkol čistě na výrokovou logiku, proto nejtěžší je převést volný text do logických značek a nejpracnější je pak provést všechny ty výpočty, což je dovednost asi jako násobení dělení, tedy čistý dril. Otázka praxe je pak zvolit takový postup, který je nejméně pracný. Postupů je samozřejmě mnoho.

Přepis do výrokové logiky

Značky

~ negace (z nuly dělá jedničku a z jedničky nulu)

∨ spojka "nebo", disjunkce – aby tato spojka byla pravdivá, abych pod ní mohl napsat jedničku, tak alespoň na jedné její straně musí být jednička.

∧ spojka "a", konjunkce – abych pod tuto spojku mohl napsat jedničku, tak na obou stranách této spojky musí být jednička

→, ⇒ implikace, jesliže je vpravo nula, pak bude i vlevo, jinými slov nikdy nenastane případ, že vlevo je jednička a vpravo nula. Čteme Jestliže A, pak B.

↔, ⇔ ekvivalence, pod tuto spojku napíši jedničku, pokud na obou jejích stranách je stejná hodnota - "jak napravo, tak nalevo", čteme "A pravě tehdy, když B;" nebo "A tehdy a jen tehdy, když B".

| čára oddělující premisy a závěr (co víme, versus co si domýšlíme). Čteme „tedy, takže, proto, ergo“

Zjednodušený důkaz podle doc. Jaurise

Můj oblíbený profesor logiky doc. Jauris používal tento postup, jak zrychleně dokázat, zda něco je či není pravidlo správného uvažování. Vyšel z toho, že je zbytečné si dělat celou tabulku pravdivostních hodnot, když nás stejně zajímá jen jedna jediná situace, a totiž, že nemůžeme najít řádku, ve které jsou premisy pravdivé a závěr nepravdivý. Ostatní tři možnosti jsou nám ukradené, proč bychom je tedy všechny vyplňovali, že?

Pro úplnost. Klasický důkaz si vypsal pravdivostní tabulku pro všechny možné hodnoty, kterých mohou premisy nabýt. Pokud se mezi nimi neobjevila řádka, kde premisy byly pravdivé a závěr nepravdivý, tak danou formuli prohlásil za PSU, pravidlo správného uvažování.

Nenastala situace:

tedy

A,B,C | (B∨C) je pravidlo správného uvažování.

Protože nás zajímá jen zelená řádka, kdy premisy jsou pravdivé, ostatní řádky příště už nebudeme řešit. To je právě to Jaurisovo zjednodušení.

Celý postup znám zpaměti a říkám si jej jako básničku:

A,B,C | (B∨C) Vyplývá z premis ABC závěr B nebo C?

Aby toto bylo pravidlo správného uvažování, nesmí nastat situace, že premisy jsou pravdivé a závěr nepravdivý. Musí tedy nastat spor v tomto výroku (a napíši si pod značky číslice):

A,B,C | (B∨C)

1 1 1 |   0

Teď začnu jako v sudoku vyplňovat prázdné pozice – přepisuji známé hodnoty proměnných na druhou stranu:

A,B,C | (B∨C)
1 1 1 |  101

Koukám napravo je spojka „nebo“ nepravdivá, i když obě strany jsou jedničky (tam by měly být dvě nuly, aby spojka „nebo“ byla nepravdivá). To je spor, viz výše značky. Vyznačím spor žlutě a jsem rád, protože tímto sporem se ukázalo, že se jedná o pravidlo správného uvažování.

A,B,C | (B∨C)
1 1 1 |  101 # je to pravidlo správného uvažování, dále jen PSU

Jak jednoduché, že? A teď je třeba to 100 000× procvičit jako dělení či násobení.

Teď si musíme všechny možnosti, které mohou nastat, přepsat do tabulky. To je to pracné. Navíc v této tabulce jsou vypsané i závěry, které budeme dokazovat až dodatečně.

Důkazy pro jednotlivé typy

Typ IV. – samé jedničky, zadání

Tento typ si rozepíšeme podle Jaurisova důkazu, ostatní si udělejte sami, ať si to procvičíte:

B,C,(B∨C),(A∨C),(A∨B)|A

Toto chceme dokázat, že platí - z pravdivých premis by mělo nutně vyplývat A. Nesmí tedy nastat případ, že by závěr byl nepravdivý, i když premisy jsou pravdivé. Prostě takové tvrzení by mělo vést ke sporu.

B,C,(B∨C),(A∨C),(A∨B)|A

1 1   1     1     1   0
# Zkusíme toto: Premisy jsou jedničky, přesto závěr je nepravdivý.

To by mělo vést ke sporu. Doplníme známe hodnoty A, B, C:

B,C,(B∨C),(A∨C),(A∨B)|A

1 1  111   011   011  0       # spor nikde, takže průšvih. Z těchto premis závěr A nutně neplyne.

B,C,(B∨C),(A∨C),(A∨B)|A není pravidlo správného uvažování, PSU. Z viděného a slyšeného nemůže muž A říci, že má červený klobouk. Tak druhý důkaz: Co když má černý?

B,C,(B∨C),(A∨C),(A∨B)|~A

1 1   1     1     1   0       # to by mělo vést ke sporu

1 1  111   111   111  01      # spor nikde, takže průšvih

B,C,(B∨C),(A∨C),(A∨B)|~A není PSU. Z viděného nemůže A říci, že má černý klobouk.

Co to znamená? Když je člověk v situaci B,C,(B∨C),(A∨C),(A∨B), tzn. vidí dva červené klobouky a tři ruce nahoře, nemůže jen z těchto informací poznat, co má sám na hlavě.

Typ I. – samé nuly

Takto to vidí situaci A:

~B,~C,~(B∨C),~(A∨C),~(A∨B)|~A

B a C mají černé klobouky (nuly) a všichni hlásí, že červený klobouk nevidí ani jeden.

~B,~C,~(B∨C),~(A∨C),~(A∨B)|~A

1  1  1      1      1      0       # toto by mělo vést ke sporu

10 10 1  0   1  0   1  0   01      # dále doplníme

10 10 1 000  1 100  1 100  01      # paráda, našli jsme spory

~B,~C,~(B∨C),~(A∨C),~(A∨B)|~A je pravidlo správného uvažování. Muž A díky tomuto pravidlu zná svou barvu (černá), a tak musí odejít. Takto to mají všichni tři, takže všichni musejí odejít.

Když je člověk v situaci ~B,~C,~(B∨C),~(A∨C),~(A∨B), tzn. vidí jen černé klobouky a všechny ruce zůstávají dole, může jen z těchto informací poznat, že i on má na hlavě černý klobouk. Asi pohřeb...

Typ II. – jedna jednička z pohledu toho, kdo ji má

~B,~C,~(B∨C),(A∨C),(A∨B)|A

10 10 1 000   010   010  0        #dva spory, je to PSU,
muž A takto zjistil, jakou má barvu (červenou jedničku), musí odejít.

~B,~C,~(B∨C),(A∨C),(A∨B)|~A

10 10 1 000   110   110  01           # není spor, není PSU. Toto je nadbytečný důkaz.

Proč nadbytečný důkaz? Protože o dvě řádky víc jsme si dokázali, že z těch premis platí A. Tak to ověřené A můžeme dát mezi premisy. Co známe, jde do premis.

~B,~C,~(B∨C),(A∨C),(A∨B), A | ~A 	# a vidíme hned spor mezi premisami a závěrem: A versus ~A.

Když vím (já muž A), že na mé hlavě je červený klobouk, tak je asi blbost dokazovat, že mám černý, ne?

Všimněte si, jak je třeba umět přeskakovat z jazyka výrokové logiky do běžného jazyka a pak zase zpět. To je dovednost, kterou se člověk (tedy i student) musí nadrilovat. V obyčejném jazyce vidět výrokovou logiku a ve výrokové logice vidět běžný život.

Typ II. – jedna jednička z pohledu toho, kdo má nulu

A,~C,~(B∨C),(A∨C),(A∨B)|B

1 10 1 000   110   110  0        # není spor, není PSU

A,~C,~(B∨C),(A∨C),(A∨B)|~B

1 10 1 100   110   111  01
# je spor, je to PSU, muži s nulou (černé klobouky) také
odcházejí, protože vědí, že mají černý klobouk.

U typu II. všem dojde, co mají na hlavě, a tak odejdou.

Typ III. - dvě jedničky z pohledu toho, kdo ji má

B,~C,(B∨C),(A∨C),(A∨B)|A

1 10  110   010   011  0    # spor, výborně, je to PSU

B,~C,(B∨C),(A∨C),(A∨B)|~A

1 10  110   110   111  01   #chybí spor, není PSU

Ten, kdo má jedničku, odchází, protože mu došlo, že má červený klobouk, i když ho sám nevidí.

Typ III. - dvě jedničky z pohledu toho, kdo má nulu

A,B,(B∨C),(A∨C),(A∨B)|C

1 1  110   110   111  0           #chybí spor, není PSU

A,B,(B∨C),(A∨C),(A∨B)|~C

1 1  111   111   111  01          #chybí spor, není PSU

Muž C sice má nulu (černý klobouk), ale odejít nemůže, protože on sám není schopen vysoudit z pozorovaných premis, jakou má barvu.

Intuitivní řešení

Zadání explicitně říká, že se jedná o typ IV. Nikdo nesmí odejít. Jak to, že jeden z nich po nějakém čase nakonec odchází? Logicky vzato musel by ke svým premisám dodat ještě nějakou dodatečnou, ale kde ji vzal?

Zde se musíme vžít do situace muže C. On sám totiž neví, jakou barvu má jeho klobouk, on vidí jen dvě červené jedničky. Takže ví, že se jedná o typ III. nebo IV (zelená dvojice buněk).

Kdyby se jednalo o typ III., jedničky (červení) by časem odešli. Když neodcházejí, jsme typ IV., ergo i já musím mít jedničku, červenou, tak mohu odejít. Za chvíli po mě musejí odejít i ti dva zbývající.

A teď to musíme formalizovat:
Jestliže B vidí jednu černou a jednu červenou, pak odejde. (implikace)
B neodchazí.
- - - - -
Ergo B nevidí černou a červenou.
Toto byl modus tollens. Co to je?

Exkurz o implikacích

Co je modus tollens či ponens si můžeme vysvětlit na jednoduchém příkladu z elektroniky: Jedna LED dioda se dá rozsvítit dvěma tlačítky:

platí tedy tyto dvě implikace: Jestliže zmáčknu toto, resp. tamto tlačítko, rozsvítí se kontrolka.

U implikací, tzn. u vět typu "jestliže A, pak B," jsou pak dva základní způsoby uvažování:

Z ostatních možností se ve výrokové logice nedá nic vysoudit.

X→Y, ~X | ??? Jestliže zmáčknu první tlačítko, rozsvítí se kontrolka. První tlačítko nikdo nezmáčkl. Co víme o kontrolce? Nic. Může ji rozsvítit i to druhé tlačítko.

X→Y, Y | ??? Jestliže zmáčknu první tlačítko, rozsvítí se kontrolka. Kontrolka teď svítí. Co víme o tomto prvním tlačítku? Nic. Vždyť říkám, že ta kontrolka se dá rozsvítit i tím druhým tlačítkem.

V těchto případech lidé často chybují. Jestliže přijde na večírek Karel, příjde i kamarádka Jana. Jana přišla. Co víme o Karlovi? Nic. Jana můžeme mít i jiného kamaráda než Karla.

Než se vrátíme zpět ke kloboukům, zkuste si mody ponens a tollens dokázat pomocí Jaurisova důkazu.

Formální řešení a rozšíření aximatické základny zadání

Všimněte si, že nemáme zavedený výrok "X odchází", ani výrok "X vidí Y". Ve výrokové logice se snažíme zprvu zavést co nejméně pojmů, aby úloha byla co nejjednodušší. Toto zadaní je příklad, že tady někde se jednalo o šetření na nesprávném místě.

Pomocí výrokové logiky se pokusíme i nadále vyhnout výrokům o zrakovém vnímáním: "pán B vidí klobouky po jedné barvě" jen výroky o barvě klobouků:
(A ∧ ~C) v (~A ∧ C)

Výroky A, B, C totiž označují barvy klobouku toho kterého pána, ne co daný pán vidí. Tyto proměnné ale představují tzv. neúplnou axiomatickou teorii, protože z nich nešlo odvodit výrok o vlastním klobouku pána C. To je totiž to, co od úplné axiomatické teorie vyžadujeme - schopnost rozhodnout o každém jednotlivém výroku, zda je pravdivý či ne.

Pokud je nějaká teorie neúplná, můžeme jí pomoci tím, že k ní přidáme další axiomy či premisy a díky jim ona nabude na síle a je pak schopná s pomocí nových axiómů rozhodnout i tyto dosud nerozhodnutelné případy. Tímto doplněním je právě proměnná O_X "X odchází", která je ekvivalentní s jinou možnou proměnnou proměnnou Z_X "X zná svou barvu", popř. R_X "X může ze svých premis rozhodnout či odvodit, jakou má barvu jeho klobouk, který nevidí." Z těchto proměnných tedy budeme používat jen jednu a zkusíme se stále obejít bez relace "X vidí Y".

Slovo ekvivalentní neznamená totožná, ale jen, že nabývá stejných hodnot čili valencí. Není proto pravda, že O_X=Z_X=R_X, ale platí, že O_X⇔Z_X⇔R_X. Ekvivalence (⇔) je taková "hermeneutická^(*)" spojka - jak napravo, tak nalevo. Když O je pravdivá, tak je pravdivá i Z a R a naopak.

Nová proměnná předpokládá nové nevyřčené okrajové podmínky. Každý z hračů kromě barev klobouků svých spoluhráčů ví, kdo z nich odešel. Tedy například z pohledu muže A vypadá toto rozšíření takto. Muž A výchází z těchto premis nebo jejich negací: B, C, (B∨C),(A∨C),(A∨B), O_A, O_B, O_C | A?
Slovy: Znám barvy klobouků spoluhráčů, vidím jejich ruce a vím, kdo z nás odešel.

Ze zadání této hádanky si pamatujeme, že muž C odešel, tedy propojil si některá pravidla správného uvažování s faktem, že jeho kolegové neodcházejí. Ale která, že?

Pravidla správného uvažování jsme dosud zapisovali takto:

P₁, P₂ | Z      Premisy | Závěr

Ale je dobré vědět, že pravidlo správného uvažování můžeme zapsat i takto:

(P₁ ∧ P₂)→Z      Premisy implikují Závěr, přičemž čárky přepisujeme jako konjunkce.

Pamatujete? S těmito pravidly jsme si dali dost práce, abychom je dokázali, abychom ukázali, že nikdy nenabývají hodnoty nepravda, tzn. vyloučili jsme situace, že by závěr byl nepravdivý, ač premisy jsou pravdivé. Odměnou za tuto námahu je, že nyní můžeme všechny odvozené PSU strčit mezi premisy a víme, že to jsou vždy pravdivé implikace.

U typu III. jsme dokázali PSU pro muže A, které pro něj znamená odchod:

B,~C,(B∨C),(A∨C),(A∨B)|A

Proto muž C si mezi své premisy zasune i toto PSU s novým výrokem "Pán A odchází":

(B∧~C∧(B∨C)∧(A∨C)∧(A∨B))→OA

Teď premisy muže C po doplnění vypadají takto:
A, B, (B∨C),(A∨C),(A∨B), ~O_A, ~O_B, ~O_C, B∧~C∧(B∨C)∧(A∨C)∧(A∨B)→O_A | C?
Slovy: Spoluhráči jsou červení, ruce jsou nahoře, nikdo neodešel, a implikace: Kdyby A viděl obě barvy a všechny ruce nahoře, tak by odešel. Dá se z tohoto odvodit nějaký závěr o mé barvě?

Při troše cviku uvidíte modus tollens (X→Y, ~Y | ~X):
(B∧~C∧(B∨C)∧(A∨C)∧(A∨B))→O_A, ~O_A |~(B∧~C∧(B∨C)∧(A∨C)∧(A∨B))

Vzniklo další PSU, tedy i to strčíme mezi premisy muže C. Negace té dlouhé závorky znamená, že alespoň jeden z jejich členů není pravdivý. Jak určíme který? Budeme je dávat do hromady s ostatním premisami a hledat, zda nevzniká spor. Tedy vyloučit můžeme všechny, které jsou již obsaženy v premisách muže C, tzn. minimálně tyto: B, (B∨C),(A∨C),(A∨B), například zjevně sporné je toto tvrzení:
B, ~(B,~C,(B∨C),(A∨C),(A∨B))| ~B Toto není PSU kvůli přímému sporu mezi B a ~B

Jediná možnost nám zbývá negace ~C. Dvojitá negace ~(~C) je samozřejmě totéž co výrok C (Muž C má červený klobouk).

A, B, (B∨C),(A∨C),(A∨B), ~(B∧~C∧(B∨C)∧(A∨C)∧(A∨B)) | ~(~C)   Dokážeme Jaurisovo zjednodušeným důkazem.
1  1    1     1     1    1                           0       Hledáme nehezkou řádku a doplníme známé hodnoty.
1  1   110   110   111   1(1 10   1     1     1  )   0 10    Doplněno. Tak co? Máme spor?

Samozřejmě, velká závorka s konjugacemi je pravdivá, tedy její negace by měla být nepravdivá, ale ona má být jako premisa pravdivá. Takže díky tomuto sporu je toto PSU.

Každopádně takto pracně a formálně si muž C dokázal, že má červený klobouk, a podle instrukcí odchází.

V tabulce jsou barevně vyznačeny dvojice buněk. To odpovídá prvním dvěma premisám v těchto důkazech:

Zjednodušený návod pro bigoše^(*)

Vyjádřeno v hradlech

Celou tuto úlohu můžeme vyjádřit v hradlech. To jsou elektronické součástky, které modelují spojky výrokové logiky. Vypadají asi takto:
Na papíře: V ruce:

Proto když umíme problém formulovat ve výrokové logice, není pak až tak těžké podle toho sestrojit nějakou krabičku, která za nás dělá požadované rozhodování.

To uděláme na stránce simulátoru Paula Falstada, kam načtete textový soubor z tohoto odkazu. (Menu>File>Import as text)

Všechny tři typy rozhodování máme zde ve třech stejně barevných oválech.

Nejjednoduší je žlutý ovál, které tvoří jen hradlo XOR, které imituje exkluzivní disjunkci, tedy jednoduše česky řečeno: Buď A nebo B, ale ne oba zároveň. V našem případě: Když vidím právě jeden červený klobouk, posílám dál jedničku.

Složitější je červený ovál. Dvě negace na začátku říkají, že se ptáme na černou barvu vstupů B a C - podívejte se, že k nim vedou dráty. Když na vstupech B,C není žádné napětí, nebo jen nízké (anglicky L low - logická nula), pak negace z nich udělají jedničky (H High - "vysoké" napětí, logická jednička). Následné hradlo imituje spojku A, která je takto pravdivá, jen když muž A vidí na vstupech B, C jen černou barvu, logické nuly.

Třetí, zelený ovál se snaží imitovat čekání na opožděné rozhodnutí kolegy B. Ten by měl odejít, pokud vidí právě jeden červený klobouk, takže zopakujeme XOR hradlo, které už známe ze žlutého oválu. To nám řekne, co udělá kolega B. Levé AND hradlo v zeleném oválu zjišťuje, zda muž A vidí jen červené klobouky, tedy dvě jedničky na B a C.

Pravé AND hradlo v zeleném oválu, jak vidíte, spojuje rozhodování muže A a B z předchozích hradel. Pokud oba kývají, že za ně jako ano, a vysílají logickou jedničku, tak i toto hradlo též pošle jedničku dále. Jednička bez problémů prosviští posledním pravým OR hradlem a v cílové rovince rozzáří LED diodu. Z čehož my muži máme nelíčenou radost, ale naše manželky to většinou moc nerozzáří. Prostě sexizmus - nerovný přístup k hradlům. Někteří mí kolegové jsou názoru, že za to může jen a pouze výchova našich tchánů, kteří málo vedli naše budoucí partnerky k pájce a bezolovnatému cínu. No, nevím. Osobně jsem zkoušel podle zásad moderní výchovy vést dcery ke sbíjecímu kladivu a vztah k němu mají asi jako k těm hradlům.

Všechny ovály jsou vypnuté, ale vpravo rozsvicí LED diodu hradla zeleného oválu, což vidíme na zeleně zvýrazněném napětí, jedničce.

Vlevo rozhodují žlutá hradla, vpravo hradla červeného oválu.

Nepůjdeme do detailu, ale celý chumel předchozích hradel můžeme nahradit dvěma hradly, které mají stejnou funkci.

Na tomto zjednodušení je vidět jednak praktickou aplikaci výrokové logiky v elektronice, stejně jako ulehčení práce, kterou nám znalost výrokové logiky nabízí. Zapájet dvě hradla je snazší než 12.

Exkurz o tvrzení "ze sporu cokoli" - e contradictione quodlibet

Pro začátečníky se na konci hodí vysvětlení, proč logici tak neradi vidí mezi premisami spor. Důvodem je, že ze sporu je možno dokázat jakékoli, i zcela nesmyslné tvrzení či závěr. Například tvrdím vám (závěr Z), že: "Mám akvárium plný ryb a v něm loď z dopisů a pravopisných chyb."

Mějme spor: Pán A má červený klobouk. Pán A nemá červený kloubouk. Jak z toho jde dokázat loď z dopisů a pravopisných chyb?
A, ~A | Z

Napřed si uděláme jedno pomocné PSU, které pak strčíme mezi premisy. Tím bude oslabení výroku, tedy "Mám slepice, tedy mám slepice nebo covid." Každý výrok totiž takto oslabit spojkou "nebo" čili disjunkcí. Oslabením výroku neznamená, že bych chtěl říci, že mám covid. Klidně nemám, ale oslabený výrok není nepravdivý. Spojka "nebo" oslabuje, spojka "a" zesiluje. Teď důkaz.

A | A∨Z       Hledáme nehezkou řádku a doplníme jedničky
1   000		Je to PSU.

V závěru je disjunce "nebo" nepravdivá, jen když obě strany jsou nepravdivé, ale v premisách máme, že A je pravdivé, jednička. Našli jsme spor, proto je tento výrok PSU a my ho můžeme strčit do premis, jen trochu pozměníme zápis a dokážeme, že i toto je PSU:

A, ~A, A→A∨Z | Z
A, A→A∨Z | A∨Z		modus ponens z vybraných premis. Závěr dáme opět do premis
A∨Z, ~A  | Z		hledáme nehezkou řádku a doplníme jedničky
 1   1     0
010  10    0		Našli jsme spor. Je to PSU.
Závěr Z je tímto dokončen. QED

Tradiční zkratkou QED (Quod erat demonstrandum. Což mělo být ukázano.) se ukončuje důkaz, aby i naprostý blbec věděl, že tady končí důkaz. Je to něco jako coda v muzice. Ta je též kvůli tomu, aby i naprostý hudební analfabet pochopil, že konec skladby příjde do pár sekund.

To vše jsme regulérně a pečlivě odvodili jen ze sporu:

Pán A má červený klobouk. Pán A nemá červený kloubouk. Ergo mám loď z dopisů a pravopisných chyb.

Hmm. Tak už snad chápete, proč logici nemají rádi v premisách jakýkoli spor. Nechtějí, aby jejich úvahami proplouvaly lodě z dopisů a pravopisných chyb a jiné nesmyslné výroky. To přenechávají básníkům, hermeneutikům, lunatikům, či u tohoto konkrétního výroku skupině Precedens (píseň Na hlavu postavená).

Okrajové podmínky

V příkladu není uvedena jedna ne zcela samozřejmá podmínka: Klobouk nemůže být zároveň černý i červený (tertium non datur, třetí možnost není).

Další nevyřčená okrajová podmínka, která přesahuje pravidla výrokové logiky, je názor, že se hraje nějaka hra na prvního či chytřejšího. Ale to jsou axiomy či logika spíš manipulací než výrokové logiky. Ty jsem popsal v třetí kapitole knihy Partneři a rozchody a najdete je například na tomto odkazu. Ty třeba říkají: "Hraje se na silné a slabé. Slabší je ten, kdo nemá své okolí pod kontrolou, tedy třeba ten, kdo počítá pomaleji než ostatní."

Axiomy manipulace sice tvoří v psychologii celkem vzácný axiomatický systém, který dokonce nastavuje i pravidla chování, jakousi archaickou morálku, ale už proto přesahují rámec výrokové logiky. Pokud by s nimi tedy hráči měli počítat, měla by se i tato okrajová podmínka dát do premis jako axióm: "Budeme hrát na chytřejšího (jak je řečeno v zadání na 'bystrost úsudku'), rychlejšího, prvního..." Jenže to by se ten případ dosti zkomplikoval.

V příkladu není uvedena jedna důležitá podmínka: Muži A a B musejí být chytřejší než Klimeš (protože mně to trvalo hodinu) a musejí správně dělat logické závěry z pozorované situace. Přesněji řečeno třeba podmínka: Všichni zúčastnění dělají správné úvahy nejdéle do 5 minut.

Pokud by A, B byli hlupáci, kteří jen stojí a chovají se chaoticky, pak by popsané řešení nefungovalo. To je totiž řešení založené čistě na výrokové logice. Tedy není pravda, že C je nejbystřejší, jen jeho odhad, jak asi tak dlouho může trvat uvažování kolegů A, B je nejkratší. Pokud by třeba A, B uvažovali pomaleji, než C tipuje, mohla by být reakce C chybná. Navíc, jak muž C odejde, pak za ním musejí odejít i A, B, protože zvednutou rukou si vzájemně prozradí, jaký má ten druhý klobouk bez ohledu na muže C.

Například já kdybych tam stál, tak se dostanu do stresu, před očima se mi zatmí. Budu čumět jako bluma. Najednou co se nestalo. Muž C odchází, tak na něj řvu: „Kam se cpeš, ty černej? Odejít jsem měl já, protože já vidím právě jednu červenou a všechny ruce jsou nahoře.“ „A proč nejdeš?“ „Protože mi to trvá, jsem ve stresu, mám mlhu před očima...“ Vypočítat všechny tyto nevyřčené možnosti a jejich možná řešení by vícemeně zničilo didaktickou hodnotu této hádanky, která by proto neměla opustit dvorek výrokové logiky.

Závěry z tohoto postupu

Chraň vás ruka Páně, abyste hráli logické hry s Klimešem, když je ve stresu!

Tyto hádanky se většinou řeší intuitivně. Po tomto exaktním přístupu ale sáhneme, pokud by šlo třeba o průmyslové řešení, kdy chyba v úsudku by nás stála pár miliónů (viz nezdařené lety do vesmíru). Prostě jedná se o systém s třemi vstupy a třemi výstupy – čidla na fotovoltaiku, ČEZ, baterie, versus spínače na bojler, přímotop, bazén. Tedy co se na kloboucích naučíte, s prstem v zásuvce jako když najdete.

^(*) Určete slovní druh. Patří slovo drahnou do 5. slovesné třídy jako zdrhnou?

^(*) Ze stránky armada.klimes.us se pomocí AI a kolektivní spolupráce pokuste extrahovat, v čem spočívá rozdíl mezi pilotem a bigošem. Zkuste dále odhadnout, kdo z nich má otevřenější vztah k hradlům a výrokové logice.

^(*) Narážka na první větu Smaragdové desky od Herma Trismegista, která dala vznik hermeneutismu a alchimii: "Jak nahoře, tak dole." "Quod est superius est sicut quod inferius."