PhDr. Mgr. Jeroným Klimeš, Ph.D. 2026-04-18
Díval jsem se dnes na toto video o rekonstrukci obrazu M.C.Eschera od Grant Sandersona.
Grant Sanderson, chytrý to chlapík, tam popisuje, jak můžeme jednoduše rotovat a přesouvat objekty, když je převedeme do komplexní roviny.
Jak si představujete komplexní čísla?
Komplexní čísla si představuji jako řeku, kde reálná část je vzdálenost na toku (5000m=5km) a imaginární část (300i) je vzdálenost doprava, doleva.
Kde je občerstvení?
O = 5000 + 300i
Občerstvení je na pátém kilometru řeky 300 metrů doleva. Minus i by bylo doprava.
Reálná část 5km není schopna vyjádřit informaci, jestli máme vystoupit na pravém či levém břehu a jak daleko od břehu máme očekávat nálevnu, tak tuto informaci nese imaginární část s i.
Chaloupko, chaloupko, ať je mi vhod! Otoč se, ať je ke mně tvůj vchod!
Pan Sanderson nám vysvětluje, že pomocí komplexních čísel se můžeme nejen dobře orientovat v prostoru, ale můžeme i pomocí imaginární jednotky i otáčet a přesouvat objekty.
Například v pohádce Mrazík se rotuje s chaloupkou.
Sanderson navrhuje Ivanovi tento postup: Vezmi chaloupku a vynásob ji i a ona se celá otočí o 90°. Když ji vynásobíš i2, tak se otočí o 180°. To se mi nezdálo, tak jsem si to šel vyzkoušet, zda to taky dovedu. Jakž takž se to povedlo, podívejte se na tento obrázek. Je na něm čtvercový půdorys chaloupky a jeho zmenšená rotace.
Rotace chaloupkou v programu www.desmos.com
Nejprve si musíme nastavit Desmos do komplexního modu, tzn. na ose x teče říčka Volyňka a osa y je imaginární část, tedy pravý/levý břeh. To se nastaví takto: Pravý horní roh/Klíč/More options/Complex mode
Nakreslíme si půdorys chaloupky jako přímku, kterou třikrát rotujeme:
p=i+t, kde t je v intervalu <-1,1>
Nakreslili jsme zadní stěnu chaloupky, podobně můžeme nakreslit levou stěnu:
q1=-1+it, kde t je v intervalu <-1,1>
Ale pan Sanderson nám říká, že totéž můžeme jednodušeji dosáhnout jen tím, že p vynásobíme i: pi
Tak schválně to zkusíme:
q2=pi, kde t je v intervalu <-1,1>
Zkusíme důkaz:
pi=-1+it
i(i+t)=-1+it
i2+it=-1+it
-1+it=-1+it
QED, čili to jsme chtěli dokázat.
Využili jsme definici i=√-1, tedy i2=-1. To sice kromě matematiků nikdo moc nechápe, ale stačí si to jen pamatovat.
Jak vytvoříme další stěnu chaloupky? Opět vynásobíme i.
r=pii=pi2 (rotace o 180°)
s=piii=pi3 =-pi
Rotace celou chaloupkou
V objektovém programování by stačilo napsat: chaloupka.i a byla by otočena o 90°. Ivan s čarodějnicí tedy jen násobí chaloupku tu i tu i2. Desmos ale na rozdíl od Ivana a Baby Jagy myslím není objektově orientovaný, takže musíme posunout všechny čtyři stěny.
Proto stěny trochu upravíme a dáme jim rotační a zvětšovací předponu:
pr=(a+bi)p
qr=(a+bi)q
rr=(a+bi)r
sr=(a+bi)s
Když teď šíbujeme proměnnými a a b, tak se nám chaloupka zvětšuje a rotuje.
Závěr
Tím jsem si dokázal, že i já umím šíbovat chaloupkou v komplexní rovině násobením imaginární jednotkou i. Teď jste na řadě Vy.
Já vím, že je to pro matematiky naprostá trivialita, ale pro mě je to dnes nové, tak jsem si to tu poznamenal pro strýčka Příhodu. Nevím, jak vy, ale já jsem dosud na přemisťování a rotování věcí používal děti.
Příkazy
p=i+t
q_{1}=-1.1+it
q=pi
r=pii
s=piii
p_{r}=\left(a+bi\right)p
q_{r}=\left(a+bi\right)q
r_{r}=\left(a+bi\right)r
s_{r}=\left(a+bi\right)s
a=-0.1
b=0.3
Pokud se vám to nechce přepisovat, tak stačí napřed nastavit https://www.desmos.com/calculator do komplexního modu, pak do něj zkopírovat tyto příkazy a u všech příkazů nastavit t do intervalu <-1,1>.
První pásmo ochrany vod
Ekologové a jiní pozorní čtenáři si dodatečně všimli, že na grafu má Baba Jaga chaloupku přímo v prameništi říčky Volyňky (souřadnice 0+0i), takže její záchod vyvěrá přímo do prvního pásma ochrany vod. To je průših. Proto chaloupku vyjmeme z pásma ochrany vod takto:
Definujeme proměnnou odsun o=4+3i a všechny rotované stěny chaloupky posuneme o tuto hodnotu:
pr=(a+bi)p+o
atp.
Tím se záchod Baby Jagy bezpečně dostane mimo první pásmo ochrany vod - přeci jenom chceme, aby ve Volyňce byli raci.
Příkazy s odsunem a obdélníkovou chaloupkou
p=i+t
r=pii
(t je z <-2;2>)
q_{1}=-2.2+it
q=pi-1
s=qii
(t je z <-1;1>)
o=5+4i
p_{r}=\left(a+bi\right)p+o
q_{r}=\left(a+bi\right)q+o
r_{r}=\left(a+bi\right)r+o
s_{r}=\left(a+bi\right)s+o
a=-1.3
b=0.8
Podobně si můžete nadefinovat rotovat, zvětšit a přesunout jakýkoli jiný obrazec.