Mgr. Jeroným Klimeš 1993

Poznámka: Do této práce jsem investoval hodně energie. Původně byla napsána v AMIPRO, takže je možné, že nějaké části grafika, tabulky chybí.

Tato práce zabývá přístupem Jeana Piageta k vývoji myšlení, v jeho pojetí inteligence. Při práci jsem čerpal především z českých překladů [8,10], které však podávají jen hrubou představu o Piagetových názorech, zvláště o jeho přístupu ke grupám. Byl jsem tedy donucen se obrátit na Dr. Zastávku z katedry logiky, který mi laskavě zapůjčil další literaturu, jak ze zahraničních publikací, tak své práce, kde se zabýval Piagetovým pojetím grupy INRC. Tímto bych mu chtěl poděkovat za ochotu.

Zvláštní pozornost jsem věnoval pojmu grupy a operace, a to jak v psychologickém, tak matematickém významu. Za účelem, abych ukázal jejich vztah a použitelnost v psychologii.

II. stádium - První zvyky

III. stádium - Sekundárních kruhových reakcí

IV. stádium - Výběr prostředků (od 8.- 10. měsíce)

4) Období formálního myšlení (nad 11 - 12 let)

A právě tyto ostatní aktivity, které nemají charakter reflexu, podléhají zákonitostem učení (pokus - omyl). Zde též dochází i integrování nových spojů do starších struktur, tento proces označuje Piaget za asimilaci. Každé kojení se poněkud liší od předcházejícího. Kojenec se přizpůsobuje těmto novým okolnostem, takže po několika dnech novorozeně jistěji saje a snadněji nachází prs. Tento proces popisuje Piaget jako "zpevňování reflexního chování funkčním cvičením".

II. stádium - První zvyky

V druhém stádiu se do hotového reflexního schématu začleňují nové sensomotorické elementy, které byly na něm dříve nezávislé. Piaget uvádí příklad cucání palce. Cucání se začleňuje do hotového reflexního schématu, jehož jádrem je sací reflex. Palec je vzhledem k vlastnímu sacímu reflexu, jak byl popsán v přecházejícím odstavci, cizorodým elementem. Tím, že dítě si začne soustavě cucat palec, zapojilo tento původně indiferentní podnět do reflexního schématu.

III. stádium - Sekundárních kruhových reakcí

Třetí stádium je přechodné, jeho spodní hranice je definována začátkem koordinace mezi viděním a uchopováním. Dítě bere do rukou a manipuluje vším, co vidí okolo sebe. Dítě tohoto věku chytne např. šňůrku, která visí nad postýlkou, a tím se všechna chrastítka při pojená na šňůrce roztřesou. Ihned několikrát po sobě opakuje gesto, které mělo tak nečekaný výsledek. Tak se vytváří "kruhová reakce" ve smyslu J. M. Baldwina, tedy zvyk ve stavu zrodu. Dítě ještě předem neodlišuje cíl od použitých prostředků. Později ale stačí zavěsit novou hračku nad postýlku a dítě již hledá šňůrku. Začíná rozlišovat cíl od prostředku. V dalších dnech, jestliže se např. rozhoupe nějaký předmět zavěšený na tyči i ve vzdálenosti 2 m od postýlky, nebo jestliže dítě uslyší na zástěnou nějaké neznámé zvuky, a když potom tato podívaná nebo zvuky přestanou, bude dítě znovu hledat šňůrku nebo tahat za ni.

IV. stádium - Výběr prostředků

Toto stádium začíná okolo 11. - 12. měsíce, kdy dítě začíná vyhledávat nové prostředky na základě diferenciace známých systémů. Dítě poznává vztah mezi prostředkem a cílem, např. poznatek, že předmět může uvést do pohybu jiný předmět apod. Nejjednodušší v tomto směru je zacházení s podložkou. Když dítě nemůže dosáhnout předmět přímo, tahá za předměty, které jsou mezi ním a předmětem (za kobereček, na němž leží oblíbená hračka apod.). Na předchozích úrovních dítěti nic neříkaly pohyby předmětu, k nimž dochází, když se pohne koberečkem. Jakmile se osvojí potřebné vztah, ihned chápe, jak se dá užít podložky.

Poslední, šesté stádium sensomotorického období zabírá část 2. roku života. Dítě se stává schopným najít nové prostředky již nejen vnějším neboli materiálním tápáním, ale zvnitřnělými kombinacemi, které vyúsťují v náhlé porozumění neboli vhled. když např. dostane trochu pootevřenou krabičku od zápalek, v níž je schována kostka, snaží se nejprve otevřít krabičku materiálním tápáním (reakce V. stádia), ale když se mu ji nepodaří otevřít, začne se chovat zcela nově: znehybní a pozorně zkoumá situaci, (přičemž některé dítě pomalu otvírá a zavírá ústa, jiné otvírá a zavírá ruku, jako by chtělo napodobit výsledek, kterého má dosáhnout, tedy zvětšení otvoru krabičky,) načež jeho prstíček hbitě vklouzne do štěrbiny a rychle otvírá krabičku.

Ke sklonku šestého období se začíná objevovat též představa. Dítě se stává schopným napodobovat s časovým odstupem, když předlohu nevnímá. Oddálená nápodoba jistě souvisí těsně s názornou představou. V téže době dítě dospívá k symbolické hře v nejelementárnější podobě, tzn. vlastním tělem znázorňuje činnost, která je cizí aktuálnímu kontextu (např. předstírá, že spí, aby se bavilo, ale přitom je naprosto bdělé). Znovu se zde objevuje jakýsi obraz sice hraný, a tedy ještě motorický, který však už je téměř představou.

Původní svět dítěte je zcela soustředěn na jeho vlastní tělo a činnost. Je to úplný a nevědomý egocentrismus (dítě ještě nemá vědomí vlastního já). Během prvních osmnácti měsíců života dítěte naopak dochází k jakési koperníkovské revoluci nebo - jednodušeji řečeno - i celkové decentraci, až nakonec dítě začíná sebe samo umisťovat jako objekt mezi jiné objekty do světa složeného z trvalých předmětů. Jeho svět je pak časoprostorově uspořádán, je sídlem příčinnosti, která určuje prostorové vztahy mezi věcmi.

Praktický svět dítěte vypracovaný již od druhého roku se skládá předně z trvalých předmětů. Původní svět dítěte je však světem bez předmětů. Tvoří ho pohyblivé a prchavé "obrazy", které se náhle vynořují a pak zase zcela mizí a už se nikdy nevrátí, nebo se opět objeví ve změněné nebo v analogické podobě. Když 5 - 7 měsíční dítě natahuje ruku po předmětu a my mu tento předmět zakryjeme přikrývkou nebo položíme za plentu, nechá svou ručičku prostě klesnout, nebo ji natahuje, a jde-li o předmět jeho zvláštního zájmu (dudlík apod.), začne plakat nebo zklamaně křičet. Reaguje tedy tak, jako by se byl předmět nenávratně ztratil. Ve čtvrtém stádiu, kdy dítě začíná hledat předmět za zástěnou, můžeme udělat následující pokus: Skryjeme předmět na místo A, které je po pravici dítěte. Dítě ho tam hledá a najde ho. Potom, před jeho očima, ho přemístíme a schováme vlevo od dítěte na místě B. Ačkoliv dítě vidělo, že se předmět ztratil v místě B (pod pokrývkou atp.), přece ho často hledá v místě A, jako by poloha předmětu závisela na dřívějších úspěšných činnostech dítěte a ne na vlastním přemístění předmětu, ke kterému může dojít nezávisle na činnosti dítěte.

V pátém stádiu (9 - 10 měsíců) dítě naopak hledá předmět jen podle toho, jak se předmět přemísťuje, pokud tento úkol není pro ně příliš složitý (soubor závěsů). V šestém stádiu již dítě odvozuje svá jednání z předchozích a dává přednost určitým kombinacím (zdvihne podušku, a najde-li pod ní jinou neočekávanou přikrývku, okamžitě ji nadzdvihne). Dítě má jistotu, že se zmocnilo předmětu poté, co jej drží v rukách či jej ocucává. Ještě nedospělo k poznání, že vizuální představa je úzce spojena s taktilní, proto považuje přemístění předmětu, které pouze vidí, za nedůležité vzhledem k taktilní zkušenosti, kterou si ověřilo existenci předmětu za zástěnou A.

Toto spojení taktilního a vizuálního bude již samozřejmostí v 6. stádiu. Primárnost taktilního nad vizuálním si můžeme ilustrovat na faktu, že většina lidí by vizi člověka, který by byl nehmatatelný, považovala za přízrak, ale člověka, který by byl neviditelný, ale hmatatelný, by považovala za mnohem více skutečného. Tento lidský pocit dobře ilustruje příklad z Bible, kde apoštol Tomáš nechce uvěřit zprávě, že Kristus vstal z mrtvých, dokud si naň nesáhne.

U symbolu je spojení mezi označovanou a označující věcí dáno subjektem. Například kamínek dítěti označuje (symbolizuje) bonbón.

Znaky jsou označující věci, jejichž spojení s označovanou věcí je dané okolním světem nebo dohodou, subjekt je přijímá od společnosti, jsou to konvenční symboly.

Druhy sémiotické funkce

1) Oddálená nápodoba

2) Symbolická (fiktivní) hra

3) Kresba

1) hra - cvičení. Kruhové reakce, které pramení z radosti z opakování, pohybu

2) Symbolická hra (vrcholí mezi 2-3 až 5-6lety)

3) Hry s pravidly, například kuličky

4) Konstruktivní hry, např. modelování

Dítě bylo u oběda donuceno dojíst polévku, která mu nechutnala, za hodinu nebo za dvě ji dítě reprodukuje ve hře s panenkou, hledá a zkouší jiná řešení a vyústění konfliktu. Panenka nemusí dojíst polévku, nebo naopak ji musí dojíst, což je snazší o to, že polévka je symbolická a musí ji jíst panenka a ne dítě samo.

Fáze kresby podle G. Luqueta:

1) Nahodilý realismus - dítě odhaluje význam čáranice teprve během kreslení.

2) Nepochopený realismus - dítě není schopno syntézy, klade prvky kresby vedle sebe a nekoordinuje je v celek. Klobouk kreslí nad hlavu, knoflíky vedle těla. Do tohoto stádia patří i kreslení hlavonožců.

3) Intelektuální realismus - Dítě znázorňuje to, co věc má bez ohledu na perspektivu. Tvář z profilu má i druhé oko, jezdec má nakresleny obě nohy, ačkoli z boku je vidět jen jedna. Brambory, které pán snědl, jsou vidět v jeho žaludku ap.

4) Zrakový realismus - nastupuje mezi 8.-9. rokem, přičemž elementární perspektiva se objevuje mezi 7.-8. rokem.

Po sensomotorickém období se objevuje ve věku 1;6 - 2 let symbolická funkce, která umožňuje učení řeči. Nástupem řeči začínají čtyři hlavní etapy ve vývoji myšlení:

3) Období konkrétních operací (7 - 8 až 11 - 12 let)

4) Období formálního myšlení (nad 11 - 12 let)

Na jedné straně ještě nedovede zacházet s obecnými třídami, protože nerozlišuje mezi "všichni" a "někteří". Na druhé straně má již vytvořen obrysový pojem trvalého individuálního předmětu v poli blízké činnosti, ale nikoliv ve vzdáleném prostoru a v delším časovém intervalu. Myslí si, že hora opravdu mění tvar, když ji sleduje na procházce (stejně jako ho dříve měnila lahev za rotace), a že slimák se znovu objevuje na různých místech.

Není schopné odlišit cíl od prostředků. Opravy jsou spíše intuitivní než operační, podobají se mechanismům zpětné vazby, neboť snaží se obejít omyl. Příklad z [6, str. 22]: Mic (5 let) odhaduje, že prkno se ve vodě potopí. Experiment, který následuje ho nepřiměje změnit názor: (Tlačí vší silou na prkýnko, aby jej udržel pod vodou.) "Ty chceš zůstat dole, blbečku." - Piaget: "Chce vždy zůstat pod vodou?" - "Nevím." - "Zůstane ležet pod vodou někdy jindy?" - "Ano."

Transdukce je pojem, který pochází od Sterna, označuje tento druh primitivního usuzování, které nepostupuje deduktivně, ale podle bezprostředních analogií.

Principy, podle kterých se řídí myšlení dětí v tomto stádiu, dobře charakterizuje pokus se zachováním objemu kapaliny, kdy přelíváme kapalinu ze sklenice A jednou do užší sklenice B, kde bude vyšší hladina, a podruhé do širší sklenice C, kde bude hladina nižší. Děti do 7-8 let odpovídají podle pravidla: Vyšší hladina znamená víc vody. Až na následujícím stupni konkrétních operací, tedy od 7-8 let, dítě začne dávat tyto jevy do vzájemného vztahu.

Kolem 4 - 5 let dítě nevytváří korespondenci a spokojuje se s řadou stejně dlouhou, v níž jsou však kostky zhuštěny více než v předloze.

Mějme řadu pravítek A,B,C... rozličné délky, které se však příliš neliší. Po dítěti chceme, aby je seřadilo podle délky. Malé děti 4 - 5leté dokáží sestavit pouze dvojice a nedovedou je navzájem koordinovat (AB, BC, CD atd.). Později dítě sestavuje krátké řady a seřadit 10 elementů se mu podaří jen po tápání. Když svou řadu dokončí, není už schopno do ní vložit nové elementy a musí sestavovat znovu celou řadu od začátku. Až na operační úrovni se daří sestrojit řadu ihned, a to např. tak, že dítě hledá nejmenší pravítko, pak nejmenší ze zbylých atd. Na této úrovni je už možný úsudek A>B a B>C, pak je A>C.

Na drát navlečeme za sebou tři panáčky různé barvy A,B,C. Dítěti dáme situaci nakreslit, aby si ji mohlo podle toho zapamatovat. Pak umístíme drát za plentu a chceme na dítěti, aby předvídalo, v jakém pořadí budou vystupovat na druhém konci a naopak jak se budou vracet. Všechny děti dovedou předem určit přímé pořadí. Naproti tomu obrácené pořadí si osvojí až kolem 4 - 5 let, na konci předpojmového období. Potom otočíme drát o 180 stupňů a dítě má předpovědět, že panáčci budou vystupovat v obráceném pořadí.

Od 4 - 7 let dítě nejdřív nedovede předvídat, že poloviční otočení změní pořadí ABC na CBA. Když to pak zjistí, myslí si zase, že dvě poloviční rotace dají rovněž pořadí CBA. Když je zkušeností vyvedeno z omylu, opět nedovede předvídat účinek tří polovičních rotací. Kromě toho malé děti (4-5 let) pozorujíce, že první vystupuje jednou A podruhé C, se domnívají, že jednou také přijde řada na B a vystoupí jako první.

Úspěšná činnost sama o sobě nepřechází v adekvátní představu. Podobně ani úspěšná orientace prostoru nevytváří automaticky představu, jak jsou v prostoru věci rozmístěny. Již jeden a půlleté či dvouleté dítě ovládá praktickou grupu přemístění, což mu dovoluje se vyznat, s návraty a oklikami, v bytě nebo zahradě. Podobně vidíme, jak 4-5leté děti každý den samy konají desetiminutovou cestu do školky a zpět. Ale jestliže je požádáme, aby znázornily tento úsek cesty souborem trojrozměrných modelů domů, ulic, řeky, náměstí ap. nebo aby naznačily plán školy tak, jak ji vidí od hlavního vchodu nebo od břehu řeky, nejsou s to rekonstituovat topografické vztahy, ačkoli jich bez ustání aktivně užívají. Jejich vzpomínky jsou svým způsobem motorické a nevyúsťují samy o sobě v simultánní rekonstrukci celku.

Proces vytváření představy může chápat jako další, druhou fázi decentrace, kdy dítě umisťuje své vlastní tělo i svou činnost jako objekty do množiny objektů a dějů ve světě. První fáze decentrace na sensomotorické úrovni spočívala v rovině činnosti, dítě začalo chápat samo sebe jako jednoho z činných objektů, tj. oddělilo svou činnost od činností druhých lidí, věcí. Nyní v druhé fázi dochází k decentraci na rovině představ. Nyní se musí oprostit od vlastní činnosti při vytváření představ, které reprezentují svět jakoby bez subjektu.

Příklad dítě teprve okolo 4-5 let dovede označit pravou a levou ruku, ačkoliv je možná rozlišovalo již předtím na úrovni činnosti. Ale i když umí použít těchto pojmů na svém vlastním těle, potřebuje ještě dva nebo tři roky k tomu, aby pochopilo, že strom, který vidí při cestě vpravo, uvidí, až se bude vracet, vlevo, nebo, že pravá ruka osoby, která sedí proti dítěti, je proti jeho levé ruce. A potřebuje ještě více času k tomu, aby pochopilo, že předmět B, který je mezi A a C, může být zároveň napravo od A a nalevo od C.

Děti od 7- 8 let chápou inklusi tříd, dostanou-li konkrétní otázku, kdežto slovní test stejné struktury rozřeší až děti mnohem starší (srovnej jeden z Burtových testů: "Několik květin v mé kytici je žlutých." táže se chlapec svých sester. První odpoví: "Tak všechny květiny jsou žluté", druhá praví "Část jich je žlutých.", třetí dí: "Žádná." Která má pravdu?)

Období formálních operací se liší od předcházejícího období konkrétních operací tím, že v předcházejícím období se dítě zabývá pouze předmětů a vztahů, které může názorně uchopit. Použití logiky se omezuje na popis vztahů mezi těmito konkrétními obsahy. Jinými slovy dítě nedovede prakticky rozlišit obsah soudů a úsudků od jejich formy. Důsledkem toho je, že uvažuje jen ty tvrzení či úsudky, které považuje za pravdivé. Dítě si nedovede položit otázku, tj. formulovat hypotézu. Hypotéza totiž ve své podstatě není než otázka, která však má gramaticky podobu oznamovací věty. Hypotézou se předpokládá jistý vztah, o kterém nevíme, zda je pravdivý. Tj. určitým logickým obsahům dáváme formu, kterou ještě nepřijímáme.

Formulování otázek či hypotéz je první rozdíl, který je patrný u pubescentů. Druhým rozdílem je určitá systematizace myšlení. Každé usuzování spočívá v hledání protipříkladů: Ptám-li se: Je pravda, že A nemůže být současně s B. Pak na ověření tohoto tvrzení musím hledat případ, kdy A i B existovaly současně. Tento fakt se pak nazve protipříkladem původního tvrzení. Některé hypotézy mají jen jeden proti příklad, některé však mohou mít protipříkladů více. Například výrok: A existuje současně s B, má tři protipříklady: Buď existuje pouze A nebo B, nebo neexistuje ani A ani B. Stavění hypotéz tedy předpokládá, že člověk postupně ověřuje pravdivost těchto tří protipříkladů. To klade vyšší nároky na pozornost, paměť a představivost.

Tou měrou, jak se pubescent dovede více spolehnout na svou představivost, tím víc se dokáže oprostit od konkrétních a názorných pout mezi předměty. Tím pádem může svobodněji hledat různé kombinace a možnosti, které mohou nastat. Jakmile se osvobodí forma od obsahu, stává se subjekt schopným konstruovat z libovolných elementů libovolné vztahy a libovolné třídy a množiny.

Probuzení kombinatorických schopností je druhou charakteristikou období formálních operací.

Piaget prováděl pokusy s dětmi, kdy je požádal, aby skládaly barevné kostky po dvou, třech atd. nebo, aby prováděly permutace různými možnými způsoby a zjistil, že tyto kombinace zůstávaly na úrovni konkrétních operací stále neúplné, protože subjekt používá metody "krok za krokem" a nezobecňuje ji. Do věku 12 let dokáže nalézt metodu, pomocí které by vyčerpal všechny možnosti.

Není snadné pochopit, co Piaget míní pojmem grupa. Piaget coby strukturalista byl okouzlen tímto dobovým módním termínem, zvláště pojmem vratnosti operace. Fakt, že při vytváření pojmu psychologického operace opravdu vycházel z matematického pojmu operace jakožto určitého přiřazení, vyplývá z jeho knih [6,7,8,9,10 ap.] Bohužel jeho příklady grup zvětší části nesplňují definici grupy, často ani ne obecnějšího pojmu grupoidu. Zdá se tedy, že Piaget skrze toto tápání v konečné fázi dospěl ke tzv. grupě kvaternality, neboli Kleinově grupě čtyř transformací INRC, která pracuje s funktorovými spojkami (implikace, konjunkce, disjunkce ap.). Pomocí této grupy ve vlastním slova smyslu lze analyzovat pokusy s dětmi i formulovat pokusné podmínky, ale jak bude ukázáno později (kap.5.2.4.) ani tato grupa nepřinesla očekávané výsledky.

Piaget vynakládá značnou snahu, aby odlišil pojem operace od prostého úkonu, tento pojem můžeme ilustrovat následujícím příkladem, který však nepochází od Piageta: Jedna stará babička zmeškala o hodinu mši v kostele, jelikož právě tu sobotu se měnil zimní čas na letní, a nebyla schopna pochopit problém letního a zimního času. Tato nebohá žena dvakrát do roka přijde do kostela nevhod, jednou o hodinu později a podruhé dříve. Dvakrát do roka si seřídí čas na svých hodinách, ale bude se jednat pouze o regulaci na nižším stupni. Je to pouze úkon, ne však operace, která je vychází o strukturu vztahů mezi časovými transformacemi a rovnodenností. Tyto vztahy by bylo zřejmě možno formálně popsat strukturou grupy, nicméně Piaget používá grupu INRC na popis, jak by vznikalo pochopení závislosti mezi posunutím času a datem.

Operaci je možno definovat jako vratnou transformaci. Podle druhu vratnosti je můžeme dělit na inverzní: A - A = 0, přičtení - odečtení hodiny, nebo reciprokou. Je-li A napravo do B, pak B je nalevo od A. Tyto transformace však předpokládají, že prvky operace A,B,C jsou stále, neměnné. Piaget je označuje za invarianty systému operačních transformací. Psychologicky invariance odpovídají pojmu nebo schématu zachování. Například schéma trvalého předmětu je invariantou praktické grupy přemístění. Protože pojem zachování je podmínkou nutnou vzniku operace, můžeme jej používat jako psychologického příznaku toho, že vývoj operační struktury byl dovršen.

Známý je pokus se zachováním objemu kapaliny, kdy přelíváme kapalinu ze sklenice A jednou do užší sklenice B, kde bude vyšší hladina, a podruhé do širší sklenice C, kde bude hladina nižší. Děti do 7-8 let nepovažují fakt přelití, tj. transformaci, za důležitý ve vztahu k množství vody a usuzují pouze ze vztahů, které vznikly mezi hladinami v jednotlivých sklenicích. Vyšší hladina znamená víc vody. Dítě považuje oba jevy - přelití a výšku hladiny za nezávislé, spolu nesouvisející. Na stupni konkrétních operací, tedy od 7-8 let, dítě začne dávat tyto jevy do vzájemného vztahu. Piaget se domnívá, že je to hlavně proto, že je možná vratná transformace - přelít kapalinu zpět do sklenice A, čímž dostaneme opět původní výšku hladiny, jelikož, kdyby se objem kapaliny nezachovával při přelívání, výška hladiny ve sklenici po zpětném přelití by byla jiná. Z tohoto faktu děti usuzují, že je to stejná voda, jen se přelila (jednoduchá totožnost), nic se nepřidalo ani neubralo (aditivní totožnost), vodu můžeme přelít zpět (vratnost operace), hladina je vyšší, ale sklenice je užší (kompenzace tvarů neboli vratnost založená na reciprokých vztazích širší - užší).

Vidíme, že invarianta, zde pojem zachování objemu, umožňuje vratnost a tím existence operace.

Piaget vysvětluje vztah jeho pojmu grupování k pojmu grupy v matematice takto: "Z hlediska logiky je "grupování" celostní struktura s omezenými možnostmi sjednocování (na základě dotyku nebo postupně skladby) příbuzná "grupě", ale s neúplnou asociativností (srovnej "grupoid"), a podobná "síti", ale jen v podobě polo-matice. Logickou strukturu grupování formalizoval J. B. Grize (Étude d'epistemologie génétique, vol. XI) a G.G. Granger (Logique et analyse, 8e année, 1965)." [8,str.77]

V následující kapitole jsou uvedeny některé příklady, které Piaget označuje za grupy a jejich rozbor. Uvidíme, že většina z nich nejsou grupy ani grupoidy, můžeme tedy učinit závěr, že matematický pojem grupy, ze kterého Piaget vyšel, až na speciální případ grupy INRC, je pro psychologii vcelku zbytečný, neboť je odrazem Piagetova intelektuálního zrání, kdy postupně zjišťoval, že matematický pojem grupy, který jej prve inspiroval nebude tak nosný, jak očekával. V praxi je možno někdy použít pojem grupy, ale nemá praktického psychologického opodstatnění.

Kupříkladu změnu letního a zimního času je možno formálně popsat abelovskou grupou na množině {+1, -1} s násobením. Na jaře násobíme (-1).(+1) a na podzim (-1).(-1), kde -1 je výsledek operace z jara. Výsledek pak přičítáme k středoevropskému času. Je zřejmé, že pro psychologickou práci je to tento poznatek vcelku nepoužitelný, rovněž ani operace násobení zde nijak nesouvisí s operací v psychologickém slova smyslu, ve které z matematického pojmu grupy zbyla jen vratnost.

Johnson-Laird varuje před přeceňováním úplnonosti Piagetovy teorie: "Piagetova logika byla idiosynkratická a jemu se nepodařilo popsat jeho teorii dostatečně podrobně, aby ji bylo možno modelovat počítačovými programy. Byl génius na kladení správných otázek a vytváření experimentů a jejich výklad, ale neurčitost jeho teorie maskovala její nedostatečnost snad i samému Piagetovi. Stává se, že snaha o její porozumění je tak velká, že čtenáři často nemívají dost sil, aby odkryli její slabiny." [4]

Piaget uvažuje vývojově první logickou strukturu tzv. elementární (logické) grupování. Je určeno jako struktura neúplné grupy (pologrupy), protože má neúplnou asociativitu; tvoří dvě skupiny:

Substituce prvků v dané třídě umožňuje poznat jejich totožnost (společnou vlastnost). Substituce členů relace pak umožňuje poznat symetrické vztahy (např. reciprokost metrických vztahů. Substituce je pak základ ekvivalence, viz [10].

dvě posloupnosti ("sledy") tříd nebo vztahů jsou vzájemně určeny prostřednictvím "násobení". Příklad: Třídy B1 a B2 jsou určeny jako sjednocení tříd A1 a A2 a jejich doplňků. Násobení B1.B2 je určeno průnikem sjednocení A1ÈA'1 a A2ÈA'2 tak, že

B1.B2 = (A1ÈA'1).(A2ÈA'2)= (A1.A2)È(A1.A'2)È(A'1.A2)È(A'1.A'2)

Toto grupování Piaget označuje za metodu dvojvýchodných tabulek (double-entry tables) a je jedno z východisek grupy INRC, pokud za B1 dosadíme {P,ØP} a B2 {Q, ØQ}, kde P, Q jsou výroky.

Nechť například B1 je množina {červený, zelený} a B2 {čtverec, kruh}, pak vynásobením dostáváme tyto možnosti červený čtverec, červený kruh, zelený čtverec, zelený kruh.

Substituovat je možno i třídu třídou či relací. Příklad: je-li třída B určena sjednocením třídy A1 a jejího doplňku, a platí-li inkluze A2ÌA'1, A1ÌA'2, pak A1ÈA'1=A2ÈA'2, což umožňuje substituovat třídu A1 doplňkem třídy A2 a naopak doplňkem třídy A1 třídu A2.

Máme-li tři tužky je libovolné, v jak je porovnáváme, jestli napřed A s B a pak delší z nich s C, nebo napřed B s C a delší s A.

Axiom asociativity při výběru nejdelší tužky B

Paradoxně je splněn požadavek jednotkového prvku, a funguje tak nejmenší tužka, neboť operace vybírá vždy delší ze dvojice, takže A.J=A.

Nicméně neexistují inverzní prvky, neboť neexistuje tužka, jejíž porovnání s jinou by vybralo nejkratší tužku, která je jednotkovým prvkem, tj. A.A-1=J.

Tato operace je komutativní.

Nechť prvky množiny jsou všechny možné vztahy, které mohou nastat mezi několika tužkami A,B,C.... Označme a - A>B, b - B>C, c - A>C. Piagetova představa sčítání a odčítání je, že a+b=c, c-a=b, avšak není definován vztah a+c, neboť z něj nevyplývá, že B>C ani, že C>B, není tedy splněna první podmínka grupoidu jednoznačnosti operace, aby každé dvojici byl přiřazen třetí prvek.

Mějme množinu všech možných přemístění předmětu v prostoru,, přičemž každý pohyb je definován počátečním a cílovým bodem. Operací je skládání pohybů, tak, že dvěma pohybům A,B přiřadíme třetí C, jehož počátečním bodem je počáteční bod A a cílovým bodem je cílový bod B.

Jelikož není splněna již první podmínka grupy totiž, že libovolné dva prvky je možno spojit operací ve třetí prvek. Například nelze složit pohyb A a C, ani A a D ap. Lze skládat pouze pohyby, které na sebe navazují. Nicméně ani takto nevzniká grupa v pravém slova smyslu, jelikož neexistuje pouze jeden jednotkový pohyb, ale pro každý pohyb existuje nulové posunutí z a do jeho cílového bodu.

Grupou přemístění s.s., jak se chápe v geometrii, je grupa translací neboli vektorových přemístění, tj, přemístění o určitou vzdálenost určitým směrem.

Vektorový součet a + b

Další příklad, který Piaget používá je klasifikační spoluzahrnování. Mějme tři třídy předmětů A - červené květy, B - květiny, C - rostliny a nazvěme A' doplněk třídy A do třídy B tak, že AÇA'=B a podobně BÇB'=C. Pak operacemi je sjednocení a rozdíl množin, nicméně chybí rovněž podmínka asociativity, neboť AÈ(A-A)ą(AÈA)-A, takže se jedná o pologrupu, která je neuzavřená.

Práce s operací a inverzní operací je však z praktického hlediska lepší, neboť existuje množina prvků a dvě operace - přidávání a ubírání. Těžko však si představíme inverzní množinu, analogickou například k zápornému číslu v algebře.

První je inverze, což je prosté sjednocení přímé a inverzní operace: +A -A =0 Piaget mezi inverze řadí i negaci výroku či činu. Batole je s to postavit před sebe předmět a potom ho shodit. Dítě na úrovni předoperačních klasifikací umí přidat jeden předmět ke druhému a zase ho odebrat.

Druhou formou vratnosti je reciprocita, vzájemnost. Reciprokým vztahem ke vztahu "větší než" je "menší než", podobně širší - užší, napravo od - nalevo od, těžší - lehčí ap. Z tohoto je patrno, že reciproký vztah k A>B vytvoříme přehozením členů: B>A.

A>B

B>A - vztah reciproký k předchozímu

--------------

A+B=B+A

Na základě těchto dvou vratností je vybudována grupa dvojí vratnosti neboli kvaternality.

Piaget popisuje případ, že jeho dcerka pozorovala vztah mezi pohybujícím se předmětem a zhasnutím či rozsvícením světla. Předpokládejme, že děvče jako první začne hledat příčinnost mezi těmito dvěma jevy. Tuto příčinnost vcelku dobře vystihuje implikace mezi výroky P, S a jejich negacemi. Nechť

S - Světlo svítí. S - Světlo nesvítí.

P - Předmět se pohybuje. P - Předmět se nepohybuje.

Toto předpokládání implikace je operace (v psychologickém slova smyslu) identity I.

Dítě může napadnout: "A co když to není pravda." Tj. , to je logicky ekvivalentní s výrokem , tzn. stalo se, že předmět se pohyboval a světlo nesvítilo. Toto znegování vztahu odpovídá operaci inverze N.

Dítě si však může říci, že je to naopak. Jestliže se předmět pohybuje, pak světlo svítí, tj., tento vztah je reciproký k původnímu, proto se tato operace označuje za reciprocitu R.

Reciproký vztah můžeme rovněž znegovat, čímž dostaneme vztah, který je logicky ekvivalentní s výrokem. Tento vztah je korelační ve vztahu k původní implikaci, a zároveň je inverzí k vztahu R.

Vidíme, že ve vertikálním směru se přehodí výroky mezi sebou, což odpovídá reciproké vratnosti, a v horizontálním směru se přidá negace, což je vratnost inverzní. Tato vlastnost má však smysl toliko u asymetrických vztahů jako je implikace, u konjunkce již nemá smysl přehazovat pořadí výroků. P & S je stejné jako S & P.

Otázkou již je, zda člověk protipříklady hledá právě popsaným postupem. Johnson-Laird v [4, str.77] tento fakt zpochybňuje: "Zastánci Piageta tvrdí, že děti mají schopnost pro vyvracení předpokladu, jakmile dosáhnout úrovně formálních operací. Piaget popisuje tuto schopnost následujícími slovy: Aby ověřilo pravdivost podmínky, jestliže P pak Q, dítě hledá, zda existuje, nebo neexistuje protipříklad, P a současně neQ. Dokonce dospělí v tomto nápadně selhávají v při tzv. výběrovém úkolu."

Akomodace a asimilace

Asimilace je integrování nových spojů do starších struktur. [8]

Assimilation is an application of a general schema to a particular person, object, even. [11]

Accomodation is the modification of internal schemes to fit a changing cognizance of reality or any sort of adjustment. [11]

Piaget kritizuje [8, str. 52],že "Psychologové ještě dnes často pomíjejí to, co se již běžně dělá v exaktních vědách, a to diskutovat o termínech jen v rámci předkládaných definic. Psychologové diskutují často v hovorových významech a asociacích." Toto je zajisté oprávněná výtka, nicméně Piaget kritizuje jiné a sám není o nic lepší. Dokladem nám může být jeho grupování, což je pouhá asociace matematické grupy, na kterou se stále odvolává. Podobně jeho pojmy adaptace, akomodace a asimilace.

Tyto pojmy si můžeme objasnit na příkladu divocha, který poprvé v životě uviděl letadlo. Je pravděpodobné, že jej zahrne do již asimilované třídy ptáků, tzn. že je označí za zvláštního ptáka. Vystupování lidí z letadla označí např. za vyvrhnutí. Dále pak jak bude zjišťovat jeho odlišnosti od živých ptáků, bude upřesňovat jeho pojem na létající stroj. Tento proces je akomodací. Zároveň s akomodací se vytvořil nový pojem, tj. "létající stroj", jinými slovy divoch asimiloval tento jev do své mysli.

V souvislosti se symbolickou hrou Piaget používá poněkud nešťastné sousloví "asimilace světa ke svému já". I zde slovo asimilace nelze plně odvodit ani od definic asimilace, které sám podává na jiných místech knihy [8] ani od definic, které uvádí psychologické slovníky. [11]

Grupa, grupoid, svaz

Grupa je neprázdná množina G prvků a,b,c,d s jednou binární operací ".", která je asociativní. Má jednotkový prvek a ke každému prvku existuje prvek inverzní. Pro matematický zápis se nejčastěji používá tzv. násobící symboliky:

2. Zákon asociativity

Asociativnost (a.b).c = a.(b.c) = a.b.c

3. Zákon jednotkového prvku

Existuje jednotkový prvek j tak, že pro všechny prvky z G platí:

a.j = j.a = a

4. Zákon inverzního prvku

Ke každému prvku z G existuje inverzní prvek a-1 tak, že

a.a-1 = a-1.a = j

Pokud je ještě splněna komutativnost (a.b = b.a), pak mluvíme o tzv. komutativní, Abelově grupě.

Mezi dvěma prvky množiny M je určena binární operace, jejímž výsledkem je opět prvek z této množiny; tuto operaci nazveme násobením a budeme tím rozumět vztah mezi prvky množiny M: Každé dvojčlenné posloupnosti prvků a,bÎM je přiřazen právě jeden prvek c Î M. Prvek c je pak součinem prvku a s prvkem b a je označen jako a.b, tedy c=a.b.

Tu skutečnost, že na nějaké neprázdné množině je definováno násobení (bez jakýchkoli požadavků a omezení), nazveme grupoidem. Tento nejobecnější možný pojem, utvořený na základě operace s dvojicí prvků, je postupně zužován specifikací této operace:

Jestliže v dané množině pro každou trojčlennou posloupnost prvků a,b,c, platí, že a.(b.c) = (a.b).c, řekneme, že na této množině je tímto násobením definován asociativní grupoid, nebo také pologrupa.

Jestliže v dané množině pro některou trojčlennou posloupnost prvků a,b,c, platí, že a.b=a.c nebo rovnost a.b__=a.c nebo rovnost b.a__=c.a, můžeme obě rovnosti "krátit" prvkem a, čímž získáme v obou případech rovnost b=c; řekneme, že na této množině je tímto násobením definován grupoid s pravidly o krácení, nebo také semigrupa. __

Jestliže v dané množině každé dvojčlenné posloupnosti prvků a, b můžeme přiřadit takovou dvojčlennou posloupnost prvků c,d, že platí rovnosti a.c=b, d.a =b, řekneme, že na této množině je tímto násobením definován grupoid s dělením. Vyskytuje-li se v dané množině pouze jeden takový prvek c a pouze jeden takový prvek d, je to grupoid s jednoznačným dělením, nebo také quasigrupa.

Jestliže se v dané množině, na níž je definován grupoid, vyskytuje prvek (a to vždy jen jeden, který vynásoben s libovolným prvkem této množiny dá součin, který je roven opět násobenému prvku, řekneme, že tento prvek je jednotkou tohoto grupoidu, že na této množině je definován grupoid s jednotkou.

Každá pologrupa s určeným dělením obsahuje jednotku a toto dělení je vždy jednoznačné - říkáme, že je určena grupa; grupa je tak grupoidem s jednotkou a je quasigrupou.

Jsou-li v dané množině definována dvě násobení (jedno nazveme horním a druhé dolním násobením), určíme dva grupoidy: horní a dolní grupoid, podle toho, je-li součin dvou libovolných prvků proveden horním nebo dolním násobením; násobení je nazváno spojením (ozn. a È b) v horním nebo průnikem (ozn. a Ç b) v dolním grupoidu.

(1) v součinu obou grupoidů oba prvky vzájemně zaměnitelné (komutativní) (tedy a.b=b.a; říkáme, že oba grupoidy jsou komutativní či abelovské),

(2) jsou-li oba grupoidy asociativní (tj. pologrupy), je-li

(3) součin každého prvku se sebou samým roven tomuto prvku (tedy a.a= a; říkáme, že každý prvek je rovnocenný či idempodentní),

pak řekneme, že dvojice obou (horního a dolního) grupoidu tvoří polosvaz, je-li splněna i následující čtvrtá podmínka, pak se dvojice obou grupoidů nazývá svaz.

(4) souvisí-li obě násobení spolu podle vzorců

aÈ(aÇb)=a, aÇ(aÈb)=a.

Schéma je strukturou nebo organizací činnosti, takže se činnost může přenášet nebo zobecňovat již při prvním opakování za podobných nebo analogických okolností.

Centrace, decentrace.

Inteligentní jednání podle Piageta spočívá ve schopnosti subjektu si položit cíl a pak hledat vhodné prostředky k jeho dosažení.

Operace je vratný, zvnitřnitelný úkon, který je spojen s jinými v celistvou strukturu. (An operation is a reversible, internalizable action, which is bound up with others in integrated structure.[6])

Flavell, John H., Markman, Ellen M.: Cognitive development, in Mussen, H. Paul (editor): Handbook of child psychology, Volume III, edice John Willey & sons, 1983

Gottschalk W.H.: The theory of Quaternality; The Journal of Symbolic Logic, 18 (1953), čís.3, str. 193 - 196.

Johnson-Laird P.N., Byrne Ruth M.J.: Deduction; IEA - Lawrence erlbaum Associates LTd., Publishers, Hove, U.K. 1991

Luquet, G.: Le dessin enfantin. Alcan, 1927 in PD

Piaget Jean, Inhelder Barbel: The growth of logical thinking from childhood to adolescence, Basic Books, Inc., USA, 5. vydání

Piaget Jean: Psychology and epistemology, Penguin University books, 1972

Piaget Jean: Štrukturalismus, nakladateľstvo Pravda, edice Filosofické aktuality, Bratislava 1971

Piaget Jean: Psychologie inteligence, SPN, Praha 1970

Reber, Arthur S.: Dictionary of Psychology. Penguin Books, England, 1985

Rieger Ladislav: O grupách, Mladá fronta, edice Škola mladých matematiků, Praha 1974