PhDr. Mgr. Jeroným Klimeš, Ph.D. 2017-03-18
O zlatém řezu bylo napsáno již mnoho literatury, tedy zde se omezím pouze na matematický popis a vyčíslení.
Na obrázku máme úsečku AB, kterou chceme rozdělit v zlatém řezu. Zlatý řez je tedy poměr dvou částí rozdělené úsečky: MB/AM, který je definován následující zajímavou vlastností:
či jinak zapsáno:
Poměr kratšího dílu ku delšímu je stejný jako poměr delšího dílu ku celku.
Geometrická konstrukce zlatého řezu je zřejmá z obrázku:
a) Nad úsečkou AB, kterou chceme rozdělit v poměru zlatého řezu zkonstruujeme obdélník, jehož kratší strana má poloviční délku než úsečka AB, čili BC=AB/2. Poměr stran obdélníka je tedy 1:2.
b) Sestrojíme úhlopříčku AC
c) Sestrojíme oblouk BD
d) Sestrojíme oblouk DM
Věta: Úsečky AM a BM jsou v poměru zlatého řezu.
Důkaz:
Z Pythagorovy věty plyne:
Nyní už můžeme lehce vyčíslit velikosti všech ostatních úseček:
Zlatý řez je tedy poměr
Zbývá jen ověřit, zda
Aritmetické vyčíslení
Vyčíslete zlatý řez (a/b) za předpokladu, že platí:
Trochu upravíme:
Rovnice o dvou proměnných má nekonečné množství řešení, ale nás nezajímá izolovaná proměnná a či b, ale poměr a/b, tedy můžeme zvolit nejvhodnější b, což je b=1, pak a/b=a.
Dostali jsme obyčejnou kvadratickou rovnici, takže spočítáme diskriminant D a kořeny x1 a x2.
Tedy zlatý řez je též iracionální číslo, přibližně rovné dvou třetinám 0,618≐0,666, což v praxi pro fotografování či malování bohatě stačí. Prostě umístíme předmět do nějaké třetiny vodorovně i svisle.
Otázka, která je mi nezodpovězena, je: Proč by ideální poměr měl být zlatý řez a ne prostě jedna třetina? Nebo poměr stran čtvrtky A4 tedy 1:√2... Prostě přibližně třetinových poměrů je mnoho, proč zrovna zlatý řez. Existuje nějaký jiný objektivní důvod? Jiný než pouhá historická tradice?
Dělení na třetiny je z psychologického hlediska dané tvarem binokulárního zorného pole, které je 214° vodorovně a 140° svisle, přičemž zorná pole obou očí se přibližně na 120° překrývají(*), takže opět poměr stran zaobleného obdélníka zorného pole je opět kolem zlatého řezu (140/214 = 0,65). To je příčinou, že u krajin dáváme přednost obdélníkovým obrazům (landscape formát). Když tedy umístíme objekt do některé z třetin, tak je přímo před středem zorného pole jednoho či druhého oka. Je tedy otázka, zda celá ta matematika kolem zlatého řezu není jen zavádějící pseudovědecká číselná mystika. Vypadá to krásně vědecky, matematicky to hezky sedí, ale reálný základ to možná ani nemá. Každopádně já ho neznám a obávám se, že těžko sestrojíme experiment, který by rozlišil od sebe hodnoty: 0,618 a 0,666, které se liší jen o cca 5 %.
(*) https://de.wikipedia.org/wiki/Gesichtsfeld_(Wahrnehmung)
Pes a čtyři zlaté řezy fotografií
Z hlediska psychologie vnímání představuje černá hlava psa tzv. kotvící prvek, tedy bod, na který skáče zrak jako první při pohledu na danou fotografii, tzn. tam kotví.