Vyvolená čísla, aneb Není číslo jako číslo

PhDr. Mgr. Jeroným Klimeš, Ph.D. 2024-08-24

V přírodě jsou čísla přirozené lineární a přirozeně exponenciální či logaritmická.
Jak to říci srozumitelněji?
Mňága a Žďorp napovídají: „Když jsi v tísni, řekni to písní!“
V tísni jsem, takže to jdu zhudebnit.

(Úvodní píseň z alba Furt rovně z roku 1992)

Když vezmete sobě kytaru zahrajete sobě či komukoli jinému jakoukoli prázdnou strunu, a pak ji zahrajete přesně v polovině její délky, dostanete tón o oktávu vyšší a eo ipso s dvojnásobnou frekvencí. Například komorní jednočárkované a’ má frekvenci 440 Hz. Dvojčárkované a’’ má frekvenci dvojnásobnou 880 Hz a o polovinu kratší strunu či píšťalu u varhan.

Když tento interval rozdělíme na 12 stejných dílů, tzn. po (880-440)/12=36,6, tak sice vznikne 12 různých tónů, ale ty znějí strašně a půltóny pouze vzdáleně připomínají. Důvod je ten, že jsme dělili interval dvou tónů lineárně, i když oktávy jdou nahoru exponenciálně, násobkem dvěma. Takže i tyto vzdálenosti nesmíme přičítat, ale naopak násobit nějakým koeficientem. Vznikne nám 12 tónů, kterým Mňága a Žďorp v hudbě říkají půltóny a jsou to v podstatě klávesy na pianě. Ale v matematice či fyzice se jim říká vyvolená čísla.

Logika je vcelku přímočará. To, co děláme lineárně, uděláme logaritmicky.

Lineární logika je jednoduchá: Vezmu šířku intervalu vydělím ji požadovaným počem dílků. Výsledný přírůstek pak postupně přičítám:

=(880-440)/12=36,6 (vložte do Calcu/Excelu)

a dostanu

440+36,6=477, a tak dále: 513 550 587 623 660 697 733 770 807 843 880

Ale toto v exponenciálním světě nefunguje, takže to samé uděláme logaritmicky, tzn. i místo sčítání musí být násobení:

=exp((ln(880)-ln(440))/12)=1,059 (vložte do Calcu/Excelu)

440×1,059=466, a tak dále: 494 523 554 587 622 659 698 740 784 831 880

Tato řada čísel už jsou frekvence kláves na klavíru do a’ do a’’.

Protože vyvolená čísla jsou tak praktická, že je doporučují i Mňága a Žďorp, Pat a Mat a možná i Jing a Jang, proto jsem jejich universální výpočet napsal na Wikipédii.

Univerzální výpočet vyvolených čísel

K dělení intervalu vyvolenými čísly se uchylujeme vždy, když pracujeme s čísly, která jsou přirozeně logaritmická. To se netýká jen elektrických odporů, ale například i výšky noty. Tón o oktávu vyšší má dvojnásobnou frekvenci a tento interval se dělí na 12 půltónů, jejichž frekvence jsou samy vyvolenými čísly. Podobně logaritmický charakter má intenzita zvuku, čas v psychologických měřeních ap.

Jestliže máme obecný interval , který chceme rozdělit n vyvolenými čísly, pak poměr mezi sousedními čísly spočítáme pomocí vzorce:

p=e^{(ln(B)-ln(A))/n}

Například interval od 6 do 60 chceme rozdělit na 10 vyvolených čísel, pak podle tohoto vzorce je poměr p=1,26. Deset vyvolených čísel jde 6×1,26=7,6, dále 9,5 12,0 15,1 19,0 23,9 30,1 37,9 47,7 60,0.

Na závěr třeba něco pozitivního, ergo Pějme píseň dokola okola stola-la-la

Tak a teď ty písně v podání mého linuxového počítače. Napřed vždy zní čistá, exponenciální verze, jak to má znít, pak je verze lineární, jak to opravdu znít nemá. Nejvíc falešně alespoň mému levému uchu zní ta durová stupnice. Falešný, lineární durový kvintakord zní vysloveně molově - jako molový kvartsextakord, vždyť tomu i frekvence odpovídají... Jako kdyby se durový a molový tónorod odvozoval od toho, zda dělíme oktávu exponenciálně či lineárně.

vyvolena_cisla_pultony.mp3

echo "půltóny exponenciální čisté"

for i in 440 466 494 523 554 587 622 659 698 740 784 831 880 831 784 740 698 659 622 587 554 523 494 466 440