Hippokratovy měsíčky, aneb
I muži mají své dny

PhDr. Mgr. Jeroným Klimeš, Ph.D. 2017-02-05

Hledal jsem Hippokratovu přísahu a z ní odvozenou zásadu "Především neškodím" (Primum non noceo), když jsem narazil na jeho jmenovce Hippokrata z Chiu. To byl sice zkrachovalý obchodník, ale zdatný matematik. Z jeho díla se zachoval jen zlomek o tzv. měsíčkách. To jsou zelené plochy na následujícím obrázku:

Hippokrates přišel s odvážným tvrzením, že ty zelené měsíčky mají stejnou plochu jako ten červený trojúhelník o stranách a, b, c. Tak chvíli mi trvalo, než jsem se s pomocí literatury přesvěčil, že je to pravda. Dá se to lehce ukázat, ale pravda těžko se to vymýšlí. Proto klobouk dolu před Hippokratem z Chiu. Neuškodím předpokládám nikomu, když ten důkaz zde načrtnu.

Hippokrates vyšel z Pythagorovy věty a² + b² = c²:

Když Pythagorovu větu vynásobíme konstantou π/8 dostaneme modifikovanou Pythagorovu větu. Tu si zapamatujte, budeme ji ještě potřebovat:
π/8.a² + π/8.b² = π/8.c²:

Kde se vzala konstanta π/8?

Obsah kruhu je πr², kde r je poloměr kruhu.

Půl kruh je polovina, πr²/2.

Když místo poloměru dosadíme průměr r=d/2, pak půlkruh má plochu πd²/8. Půlkruh se tedy liší od čtverce násobkem π/8.

Jen zcela na okraj. Toto je modifikovaná Pythagorova věta: Půlkruh nad přeponou se rovná součtu půlkruhů nad oběma odvěsnami. Podobně můžete vytvořit nekonečně podobně modifikovaných Pythagorových vět, např. a²/2 + b²/2 = c²/2, čili Obsah trojúhelníka o výšce a základně c a je roven součtu trojúhelníků o výšce a základně a, resp. b.

- - -

Pokračujme však dále. Nyní tento obrazec rozdělíme na dva díly - modrý a žlutý - a ty od sebe odečteme. Žlutý polokruh nad odvěsnou je de facto vymezen Thaletovo kružnicí.

minus rovná se

Aritmeticky je to jednoduché s využitím modifikované Pythagorovy věty: modrý - žlutý = zelený, popř. červený

[π/8.a² + π/8.b² + ab/2] - [π/8.c²] =

[π/8.a² + π/8.b² + ab/2] - [π/8.a² + π/8.b²] =

[ab/2] = [ab/2]

Hippokratovy měsíčky = Plocha trojúhelníku

A to je, co mělo být dokázáno čili QED (quod erat demonstrandum). Takže velká radost a nyní děkovačky.

Poděkování

Hippokratovi z Chiu, Pythagorovi, Thaletovi a dalším geniům své doby.

Zbyňkovi Šírovi za Řecké matematické texty, bez kterých bychom jim moc nerozuměli.

Autorům programu LibreCAD, bez kterého bychom neměli obrázky.

Marii Nečasové za zajímavou diplomku o Hippokratových měsíčkách a Tangramu, která mi to vše názorně vysvětlila.